지금까지 우리는 2×2부터 시작해서 3×3, n×n 행렬까지 행렬식을 구하는 여러 가지 방법들을 공부했습니다. 오늘은 이렇게 구한 행렬식의 성질을 공부해볼건데요. 행렬식이 어떤 성질을 갖는지 한번 알아보도록 합시다. 성질 1. A의 어떤 한 행 또는 한 열에 스칼라 k배를 하여 만들어진 행렬 B에 대하여 det(B) = k det(A) 가 성립한다. 자, 무슨 소린지 잘 모르겠죠? 바로 예시 갑니다. A의 행렬식이 4 라는 사실은 잘 알죠. 여기서 행렬식의 성질을 사용해보면 1행 [4 2]를 2로 나누어서 [2 1]로 만들어보는거죠. 이렇게 정리하고 B의 행렬식을 구하면? 이런식으로 나온다는걸 알 수 있게 되겠고요. A의 행렬식은 아까 4였잖아요? A의 한 행, 그러니까 1행을 2로 나눠서 행렬 B가 나왔으니까 B의 행렬식 역시 2로 나눠서 4÷2=2 가 나오게 된다는 겁니다. 이번엔 열을 한번 나눠볼까요? 1열이 4로 나누면 예쁘게 떨어지겠군요. 이렇게 정리하고 C의 행렬식을 구하

이제 행렬식 구하기는 끝. 오늘은 역행렬을 한번 구해볼겁니다. 오늘은 수반행렬을 이용하여 역행렬 구하기를 알아보겠습니다. 행렬 A의 수반행렬은 adj(A)로 표기합니다. 영어로 Adjoint 라고 쓰기 때문이구요. 수반행렬을 구하기 위해서는 우선 여인수행렬을 먼저 구해야 하는데요. 여인수행렬은 각 성분에 대한 여인수들을 모아놓은 행렬입니다. 여인수 구하는건 다들 하실 줄 알 거라고 믿습니다. 각 성분에 대한 여인수를 한번 구해볼까요? 얘들을 자리에 맞게 그냥 배열하면 이게 여인수행렬입니다. (계산 9번 해야해서 좃같다는 나쁜 말은 ㄴㄴ요) 이제 이 여인수행렬의 전치행렬을 구하면 그게 바로 수반행렬이 되는겁니다. 하나 조심하셔야 할 부분은 표기가 비슷하지만 행렬식 det(A)는 숫자, 그러니까 스칼라지만 수반행렬 adj(A)는 벡터라는 것을 헷갈리지 않으시면 좋겠습니다. 그럼 이 수반행렬을 왜 공부했는가? 바로 이 공식이 성립하기 때문입니다. 행렬 A를 알 때, adj(A)와 det(

저번시간에 여인수전개를 공부했는데요. 3×3 이상의 행렬에서 행렬식을 구하기 위한 정석적인 방법이었어요. 오늘은 이 연산을 훨씬 줄여줄 수 있는 방법! 행줄임을 이용하여 여인수전개를 편하게 하는 방법을 공부해보겠습니다. 기본행연산이 뭔지 기억나시나요? 기본행연산. 행렬에서 가장 기초가 되는 연산이었는데요. - 한 행에 0이 아닌 상수를 모두 곱한다. - 두 행을 교환한다. - 한 행의 배수를 다른 행에 더한다. 이렇게 세 가지 연산이 있었어요. 여기서 마지막, 한 행의 배수를 다른 행에 더한다. 이 연산은 아무리 취하더라도 행렬의 행렬식을 변화시키지 않습니다. 행줄임은 이를 활용해서 여인수전개를 간단하게 하는 겁니다. 저번시간에 봤던 행렬을 다시 가져와보죠. 여기서 한 행의 배수를 다른 행에 더하는 연산을 통해 어떤 행이나 열에서 성분 하나를 제외하고 모두 0이 되게 만들어볼겁니다. 2행에서 1행을 빼면, 2열이 a12를 제외하고 모두 0으로 간단하게 정리됩니다. 여기서 ~는 행 동

저번시간에 소행렬과 여인수가 뭔지 알아봤어요. 이제 본격적으로 행렬식을 구하기 시작할 겁니다. 3×3으로 시작해서 4×4 이상의 큰 행렬식도 구해볼거예요. 크기가 큰 행렬에서는 여인수전개를 통해 행렬식을 구할 수 있는데요. 여인수전개란 행이나 열 중 하나를 잡아서 각각의 모든 성분과 각 성분의 여인수를 곱해서 다 더해주면 됩니다. 말로 들어서는 와닿지 않기에, 예시를 바로 보죠. 여기 3×3 행렬이 있습니다. 1행을 가지고 여인수전개를 한번 해볼게요. 1행에는 성분이 세 개가 있군요. 각각의 여인수를 구해봐야 합니다. 안타깝게도 계산은 좀... 있는 편이구요. 이제 해야 하는건 각각의 여인수를 성분이랑 곱해서 싹다 더하면 됩니다. 이렇게 여인수전개를 통해 구한 값 12가 이 행렬의 행렬식(det)이 됩니다. 이번에는 다른 행을 가지고 여인수전개를 해볼까요? 2행을 기준으로 해보죠. 계산이 똑같이 나오죠. 어떤 행을 기준으로 전개하더라도 여인수전개를 통해 구한 행렬식은 항상 일정합니다

저번 시간에 2×2 행렬에서 행렬식(det)을 구하는 방법을 알아봤는데요. 상당히 간단했죠. 그냥 공식 딸깍 하면 구할 수 있었어요. 이제부터 3×3, 4×4 등 크기가 큰 행렬에서의 행렬식을 구하는 방법을 알아볼건데요. 여기서부터는 계산이 상당히 복잡해지기 시작합니다. 그래서 행렬식을 쉽게 구하기 위한 도구들을 몇 가지 알려드릴건데, 상황에 맞게 사용하면 계산이 많이 빨라질 수 있을겁니다. 우선, 소행렬식이라는 개념을 알아야 해요. 우선, 3×3 행렬 하나를 만들어놓고 출발하죠. 소행렬식은 기호로는 M을 씁니다. 소(小), 말 그대로 작은 행렬식을 의미하는데요. 영어로 Minor of entry 라고 쓰기 때문에 기호 M을 씁니다. 소행렬식은 어떤 성분 하나를 찍어서 그 성분이 속해 있는 행과 열을 제외하고 행렬식을 구하면 돼요. 자, 무슨 말인지 아직 잘 와닿지가 않죠? 예시 보겠습니다. 이건 a11 에 대한 소행렬식을 의미해요. 즉, a11이 속해있는 행과 열을 모조리 날리고

수1의 두 번째 단원, <삼각함수> 단원에서 6월, 9월 기출을 비교하는 시간입니다. 수능은 대부분의 문제가 6모, 9모의 기조를 따라가기 때문에 어떤 난이도 어떤 스타일의 문제가 나왔는지 분석하는 것이 중요합니다. 전통적으로 <삼각함수> 단원에서는 3문제가 출제되는 것이 국룰이었는데 (삼각함수, 삼각함수의 그래프, 삼각함수의 활용 이렇게 세 소단원이니까...) 이번에도 그 기조가 유지되었습니다. 6월, 9월 모두 3점 2문항, 4점 1문항 기조를 따랐습니다. (문항 1) - 삼각함수의 각변환 (3점) 2026 9모 6번 2026 6모 8번 일단 한 문제는 무조건 고정입니다. 삼각함수의 각 변환이 무조건 하나 나오는데요. 번호는 중간~뒤쪽 3점이 고정적이라고 보시면 됩니다. 내용이 기억 안나시는 분들은 여기로.... 마법의 sin cos 각변환공식 오늘 알아볼 내용은 sin과 cos을 넘나드는 각변환 공식입니다. 이런 경우 어떻게 해야하는 걸까요. 이걸 θ... blog.naver.

수1의 첫 단원, <지수와 로그> 단원에서 6월, 9월 기출을 비교하는 시간입니다. 수능은 대부분의 문제가 6모, 9모의 기조를 따라가기 때문에 어떤 난이도 어떤 스타일의 문제가 나왔는지 분석하는 것이 중요합니다. 전통적으로 <지수와 로그> 단원에서는 4문제가 출제되는 것이 국룰이었는데 이번에도 그 기조가 유지되었습니다. 6월, 9월 모두 2점 1문항, 3점 1문항, 4점 2문항 기조를 따랐습니다. (문항 1) - 2점짜리 문제 (객관식) 2026 6모 1번 2026 9모 1번 큰 이변 없이 지수법칙이 1번에 그냥 주는 문제로 나왔습니다. 이런건 분석할 가치도 없군요. (문항 2) - 3점짜리 문제 (객관식) 2026 6모 16번 2026 9모 8번 다음. 1~15번의 객관식을 지나고 16번, 그러니까 주관식 1번에 로그 연산 문제가 나오는게 국룰이었습니다. 작년 6모, 9모, 수능, 올해 6월까지 한 번도 아니었던 적이 없는데 올해는 16번에서 로그 연산을 빼버렸습니다. (그 자리

#수학2 #극한과연속 #극한 #극한의필요성

분모가 0으로 가는 상황에서의 극한? 학생들이 많이 헷갈려하는 듯해서 한번 정리해보려고 합니다. 일단 함수 하나를 정의해보겠습니다. 그냥 흔히 아는 y=1/x 꼴의 유리함수죠. 먼저, x=0일 때의 함숫값을 볼까요? 함숫값은 극한처럼 다가가는 개념이 아니라 x = 0 이라는 정확한 지점에서의 값을 의미하죠? 따라서 저런 값은 존재하지 않습니다. 절대 원칙인 분모에는 0이 들어갈 수 없다!! 극한이라면 얘기가 조금 달라집니다. x → 0+ 로의 극한을 먼저 보겠습니다. x → 0+ 로의 극한은 정확한 값을 갖는 것이 아니라 x가 0보다 아주 미세하게 큰 값이 들어간다는 것을 의미하죠? 따라서 분모에 정확히 0이 들어가는게 아니기 때문에 저 값은 존재할 수 있습니다 그럼 그 값이 얼마인가? x=1, 0.1, 0.01, ... 이렇게 x값을 조금씩 줄여가면서 관찰해보도록 하죠. x값이 0에 가까워질수록 그 함숫값도 굉장히 커지는 것을 확인할 수 있죠? 이런식으로, 이 극한은 ∞으로 발산한

항상 수능에는 사인법칙, 코사인법칙이 한 문제씩 나오기 때문에 신박하게 생겨먹은 도형들이 나오기 마련입니다. 이때, 중학교에서 배우는 도형의 성질을 까먹으면 4점을 그대로 날리게 되는데요. 오늘은 수능 D-150을 맞아 여러분이 까먹으셨을만한 도형의 성질들을 정리해봤습니다. 파란색은 주어진 값, 빨간색은 이걸 사용해서 얻을 수 있는 값 이렇게 생각해주시면 됩니다. 그럼 고고링~ 원주각의 성질 어떤 호/현에 대하여 원주각은 항상 같다. 위 그림에서 모든 원주각의 크기가 같음. 지름에 걸리는 원주각은 항상 직각이다. 원에 내접하는 사각형에서 마주보는 두 각의 크기의 합은 180도이다. 각의 이등분선의 정리 변의 중선정리 (파푸스의 정리) 시간 나는대로 더 추가할것임..

부분적분. 계산이 참 복잡하죠. 그러나 이 부분적분을 굉장히 간단하게 해결할 수 있는 방법이 있습니다. 오늘은 바로 어둠의 스킬, '도표적분법'에 대해서 알아볼거예요. 다항함수와 지수함수가 곱해져 있죠? 서로 다른 로.다.삼.지가 곱해져 있으면 부분적분. 정석으로는 미분이 적분이 나눠서 생각해주고 적분을 졸라게 해야겠죠. 이걸 세로셈을 하듯 도표로 그려서 계산하는 방법을 도표적분이라고 부르는데요. 미분이 적분이를 잡는건 똑같습니다. 이제 이걸 표로 표현할건데요. 미분이는 0이 될때까지 미분해주고 적분이는 따라서 계속 적분해주시면 됩니다. 그리고 오른쪽 아래로 내려가는 대각선을 그리며 곱해주고 부호를 (+) (-) (+) (-) 번갈아가면서 붙이면 끝! 당연히 처음 보면 이게 뭐야 싶으실 수 있습니다. 예시를 하나 더 보죠. 정석으로 하면 부분적분을 두 번 해야해요. 하지만 도표적분을 사용하면? 미분이는 0 될때까지 미분하기 적분이는 줄 수 맞춰서 필요한 곳까지 적분하기 그래서 대각선

# 공통수학 I # 4. 행렬 # 4. 행렬의 곱 행렬의 곱셈 저번시간에 공부했던 행렬의 덧셈과 뺄셈, 실수배는 되게 간단했는데요. https://blog.naver.com/masience/223831028841 행렬의 곱셈은 조금...! 헷갈립니다. 직관적으로 와닿지 않거든요. 교과서에 나와있는 공식을 보면... 꾸에엑... 당연히 이걸 외우는건 당연히 말이 안돼요. 그래서 오늘은 최대한 직관적으로, 그림으로 행렬의 곱을 이해해볼겁니다. 곱셈은 이렇게, 오른쪽에 있는 행렬을 위로 올려서 써준다고 생각하면 돼요. 그림에서 나온 것처럼, 바깥쪽끼리 안쪽끼리 곱해서 더해주면 되는겁니다. 조금 더 복잡한 행렬의 곱도 크게 다르지 않아요. 똑같이 오른쪽 행렬을 위로 올려서 써줍니다. 그리고 바깥쪽끼리, 안쪽끼리 곱해서 더해주면 되는겁니다. 이런식으로, 위치에만 조심해주면서 네 칸을 전부 채워주면 됩니다. 결론적으로 곱셈을 처리하면 이렇게 되겠죠. 행렬의 곱셈이 가능하기 위한 조건 서로 모양

# 공통수학 I # 4. 행렬 # 3. 행렬의 덧셈, 뺄셈, 실수배 행렬의 덧셈과 뺄셈 편안한 마음으로 읽어주시면 되겠습니다. 정말 쉬워요. 같은 자리에 있는 애들끼리 더하고 빼주면 된다! 1행 1열에 있는 3과 4를 더해서 7 되는거고~ 1행 2열에 있는 1과 -3을 더해서 -2가 되는거고~ 이런 식입니다. 뺄셈도 똑같죠. 1행 1열에 있는 3과 -1을 빼서 4가 되고 1행 2열에 있는 5랑 2를 빼서 3이 되고 이런 식인거죠. 개쉽습니다. 행렬의 실수배 행렬에 실수배를 취할 때도 크게 다를게 없습니다. 행렬 앞에 상수를 곱하면 행렬 안의 모든 성분에 곱해준다! 행렬 전체에 3을 곱했으니까 모든 성분에 3씩 다 곱해주면! 된다는 겁니다. 연습문제 그냥 일차방정식 푸는 것처럼 이항해서 풀면 돼요. 이런식으로 이항해서 정리해주고, 2분의 1 곱하면 X로 정리된다는겁니다.

# 공통수학 I # 4. 행렬 # 2. 행렬의 행과 열 행렬의 행과 열 저번시간에 봤던 성적표를 다시 가져오죠. 점수 백분위 등급 국어 61 68 4 수학 80 93 2 이 표를 행렬로 변환해서 표현하면 이렇게 됐었죠. 이제 각 성분들이 있는 자리를 말로 나타내고 싶은데... 61: 왼쪽 위에 있는 성분. 68: 가운데 위에 있는 성분. 이런식으로 말하면 너무 짜치잖아요...? (북한식 표현) 그래서, 행렬에서 각 자리를 나타내는 이름을 붙여주기로 했어요. 가로줄을 행, 세로줄을 열이라고 말이죠. 이제 61은 왼쪽 위에 있는 성분 이렇게 짜치게 말하지 말고 1행 1열에 있는 성분이다! 이렇게 표현하시면 됩니다. Quiz. 위 행렬의 2열을 구하시오. Answer: 두 번째 세로줄인 2열을 구하면~ 이렇게 쓰면 되겠군~ Quiz. 위 행렬의 1행을 구하시오. Answer: 첫 번째 가로줄인 1행을 구하면~ 이렇게 쓰면 되겠군~ 행렬의 표현 이제 행렬을 기호로 표현할 줄도 알아야 합니다

# 공통수학 I # 4. 행렬 # 1. 행렬의 정의 행렬의 정의 이번 시험에서 어떤 학생이 이런 점수를 받았다고 생각해봅시다. 점수 백분위 등급 국어 61 68 4 수학 80 93 2 이렇게 표로 나타내는건 굉장히 익숙하죠? 행렬이라는건 이 표에서 시작합니다. 표에는 가로축과 세로축을 정확하게 명시하죠. 가로에 <점수> <백분위> <등급> 이라는 정보가 있고, 세로에 <국어> <수학> 이라는 과목이 있죠. 행렬은 표와 똑같은 구조이지만 가로와 세로의 척도를 생략했다고 생각하시면 됩니다. 그냥 숫자만 쓰겠다는거죠. 위에 나온 성적표를 행렬로 표현하면 이렇게 됩니다. 행렬의 성분 행렬은 성분으로 구성되었다고 하는데요. 성분이란 행렬을 이루는 숫자나 문자를 의미합니다. 위에서 예시로 든 행렬을 보면 61, 68, 4, 80, 93, 2 얘들이 성분이 되는거죠. 어떤 두 행렬이 같기 위해서는 각 위치에 있는 성분이 서로 일치해야 합니다. 예를 들어 위 식에서 등호가 성립하려면 각 자리마다

오늘은 교육과정 외 수열을 한번 다뤄볼까 합니다. 바로 군수열이라는 친구인데요. 교육과정에 없으므로 수능에는 절대 나오지 않고, 내신에는... 학교 쌤의 싸이코력에 따라 나올 수도 있겠군요. 한번 만나보시죠. 1 1 3 1 3 5 1 3 5 7 1 3 5 7 9 1 3 ... 엄... 엄??? 이게 뭐죠. 패턴이...? 있나??? 패턴이 잘 보이지 않아요. 이런 경우, 그룹을 묶어주면 패턴이 잘 보입니다. 1 1 3 1 3 5 1 3 5 7 1 3 5 7 9 1 3 ... 어떤가요, 패턴이 보이죠. 생명과학 I 에 나오는 '군집'이라는 표현이 있어요. 개체군이 모여서 만든 그룹이 군집이였어요. '군'이라는 말은 그룹이라는 의미였어요. 이렇게, 군수열은 그룹을 묶으면 패턴이 보이는 수열을 의미합니다. 대표적인 예시 하나만 더 보여드리겠습니다. 직접 그룹을 한번 묶어보고 정답을 보셔도 좋겠습니다! 정답: 이야~ 처음에 보면 개판이었던게 이렇게 그룹을 짓고 보니 패턴이 쉽게 보이네요!